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为了解决这个问题，我们需要判断是否可以通过行和列交换，使得一个N×N的二进制矩阵的主对角线全部为黑色（即1）。这个问题可以通过构建二分图并寻找完美匹配来解决。

方法思路

解决代码

import sys
from collections import deque
def main():
    input = sys.stdin.read().split()
    ptr = 0
    T = int(input[ptr])
    ptr += 1
    for _ in range(T):
        N = int(input[ptr])
        ptr += 1
        grid = []
        for i in range(N):
            row = list(map(int, input[ptr:ptr+N]))
            ptr += N
            grid.append(row)
        # Construct bipartite graph
        adj = [[] for _ in range(N+1)]  # 1-based indexing for rows and columns
        for i in range(N):
            for j in range(N):
                if grid[i][j] == 1:
                    adj[i+1].append(j+1)
        # Hopcroft-Karp algorithm
        pair_u = [0] * (N + 1)
        pair_v = [0] * (N + 1)
        dist = [0] * (N + 1)
        result = 0
        
        def bfs():
            queue = deque()
            for u in range(1, N+1):
                if pair_u[u] == 0:
                    dist[u] = 0
                    queue.append(u)
                else:
                    dist[u] = float('inf')
            dist[0] = float('inf')
            while queue:
                u = queue.popleft()
                if u != 0:
                    for v in adj[u]:
                        if dist[pair_v[v]] == float('inf'):
                            dist[pair_v[v]] = dist[u] + 1
                            queue.append(pair_v[v])
            return dist[0] != float('inf')
        
        def dfs(u):
            if u != 0:
                for v in adj[u]:
                    if dist[pair_v[v]] == dist[u] + 1:
                        if dfs(pair_v[v]):
                            pair_u[u] = v
                            pair_v[v] = u
                            return True
                dist[u] = float('inf')
                return False
            return True
        
        while bfs():
            for u in range(1, N+1):
                if pair_u[u] == 0:
                    if dfs(u):
                        result += 1
        if result == N:
            print("Yes")
        else:
            print("No")
if __name__ == "__main__":
    main()

代码解释

通过这种方法，我们可以高效地判断矩阵是否可以通过行和列交换使主对角线全部为黑色。

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